1) funkcije – osnovni pojmovi i vrste. Promenljiva ( varijabla) veličina koja može dobiti različite brojne vrednosti. Fja ili preslikavanje je svako pravilo, zakon ili postupak koji daje zavisnos jedne promenljive veličine od neke druge. Za fju f : a ®b , a – domen, b – kodomen ( " a Î a)( $₁ bÎb) f(a)=b , a – original, b - slika. Način zadavanja: tablično, grafički, analitički ( flom). Y=f (x) – eksplicitan oblik, f(x,y) =0 – implicitan oblik, x=x(t), y=y(t), - parametarski oblik ( zavise od t). Gausova raspodela y= (1/Ö2p) e ^–x2 , najvažnija raspodela u teoriji verovatnoće. Specijalne klase funkcija: def: fja je ograničena odozgo ako postoji borj m tako da je svako x iz domena ($M)("xÎd) f(x)£ m). Fja je ograničena sa donje strane ($M)("xÎd) m£ f(x). F- ja je ograničena ako je ograničena sa donje i gornje strane. Fja je strogo rastuća ako važi: x1< x2Þ f(x1)< f(x2). Fja je strogo opadajuća ako: x1< x2Þ f(x1)> f(x2). Fja je rastuća ako x1£ x2Þ f(x1)£ f(x2), a opadajuća x1£ x2Þ f(x1)³ f(x2) – nije strogo opadajuća. Monotone fje: rast, stagnacija, opadanje. Periodična fja: p – najmanja ( osnovna perioda), f(x+ p) = f(x). Teorema : ako je p perioda onda je i 2p,3p... Perioda. Def: fja je parna ako je f(-x)=f(x) za sve x, a neparna ako je f(-x)= -f(x). P*p=p,n*n=p,p*n=n. Inverzna f – ja. F : a ® b bijekcija, f ^–1 : b ® a inverzna fja. Y=f(x) Û x=f ^–1 (y). F*f ^–1= id – identična fja. Nacrtaj tablicu! F (x, xⁿ,a^x,sinx), f –1 ( x, ⁿÖx = x ^1/n, logax, arcsinx). Elementarne fje . Osnovne el. Fje: 1) stepene fje – sama sebi inverzna x^a, aÎq, 2) eksponencijalna fje a^x, a >0 3) logaritamska logax, y=a^x Û x=logay, 2) i 3) su inverzne, 4) trigonometrij sinx, cosx, tgx, ctgx, , 5) inverz trig fja arcsinx,arccosx,arctgx,arcctgx., 4) i 5) su inverzne. |x| - nije elementarna fja. Dirihleova fja d(x) = { 1, xÎq – racionalna; 0, xÎi – iracionalna.racionalne fje dobijaju se sa +,-,*,:, tu spadaju polinomi ( +.- *, xⁿ). Algebarske fje, isto kao kod racionalnih samo je dozvoljeno jos xⁿ; ⁿÖx iracionalne fje. Su one algebarske fje koje nisu racionalne. Transcedentne fje. Su elementarne f- je koje nisu algebarske. Hiperboličke fje: chx – kosinus hiperbolički, chx= (e^x+ e ^–x) /2.

2) nizovi i granične vrednosti. Def: niz je svako preslikavanje a: n ® r,c,f iz skupa prirodnih brojeva u skup realnih brojeva. Niz se iznačava sa (a_n)_nÎn, (a_n) _n=1, ^n=¥ , (a_n). Okolina tačke broja: okolina + ¥ (m,+¥), okolina  - ¥ ( -¥,m). Def: tačka c je tačka nagomilavanja niza ako se u svakoj njenoj okolini nalazi beskonačno mnogo članova toga niza.def: niz (a_n) je konvergentan i konvergira sa a u oznaci lim n®¥  a_n =a ako ("e>0) ($ n_oÎ n)("n ³ n_o) |a_n - a| < e. Konvergentan niz se skoro ceo nalazi u proizvoljnoj okolini svoje granične vrednosti. Skoro ceo niz znači ceo niz izuzev mnogo elemenata. Teorema: ako niz ima graničnu vrednost tada je ona jedinstvena lim n®¥ a_n = a Ù lim n®¥ a_b = b Þ a=b. Def: niz he divergentan ako nije konvergentan. Teorema: niz  lim a_n = a Þ lim |a_n| = |a|. Def: niz koji teži nuli zove se nula niz. Def: niz je ograničen sa gornje strane ako je a_n < m. Niz je ograničen sa gornje strane ako je m < a_n. Niz je ograničen sa gornje i donje strane. Svaki konvergentan niz je ograničen, obrnuto ne mora da važi. Limsup a_n = `lim a_n – limes superio- najveća tačka nagomilavanja niza, liminf a_n = _lim a_n – limes inferior – najmanja tačka nagomilavanja niza. Monotoni nizovi. An < an+1 – rastući ,an >an+1- opadajući,  an £an+1 – ne opadajući, an³ an+1 –ne rastući. Teorema: svaki ograničeni monotoni niz je konvergentan. Teorema: bolcano – vajerštras. Svaki ograničeni niz ima bar jednu tačku nagomilavanja. Teorema: košijev princip konvergencije. (an) konvergira akko ("e > 0)($ no Î n)(" m,n ³ no) |am - an| < e.

3) granične vrednosti fja i neprekidnost.  Def: lim x®a f(x) = a Û ("e > 0) ($d > 0) |x - a| < d Þ |f(x) - a| < e. Lim x®¥ sinx/x =1. Lim x®a f(x) = ±¥ Û ("m > 0)($d > 0) |x - a| < d Þ f(x) ³ m. Leva i desna granična vrednost: lim x ®a ⁺ f(x) = a⁺, lim x®a ^–  f(x) = a ^– . Neprekidnost fje. Def: fja y= f(x) je neprekidna u tački a ako lim x®a f(x) = f(a) Û ("e > 0)($d > =) |x – a | < d Þ |f(x) – f(a) | < e. F – ja je neprekidna ako malim promenama argumenata odgovaraju nale promene fje. Fja je neprekidna u intervalu ako je neprekidna u svakoj tački u intervalu. Tipovi tačaka prekida. Ako postoji konačna leva i desna granična vrednost fje u tački a i ako su ove vrednosti različite medju sobom tada tačka a se naziva tačka prekida prve vrste. F(a – 0) ¹ f(a + 0). Ako bar jedna od jednostranih graničnih vrednosti ne postoji ili je beskonačna imamo prekid ddruge vrste. Prekid prve vrste može biti otklonjiv i neotklonjiv. Osobine neprekidnih f – ja. Teorema: fja neprekidna na segmentu [a,b] je ograničena. Teorema: fja neprekidna na segmentu [a,b] dostiže svoj maksimum ili minimum. Def: f – ja je uniformna (ravnomerna) neprekidna u nekom skupu ako ("e >0)($d > 0) |x1 – x2| < d Þ |f(x1) – f(x2)| < e. Teorema: fja neprekidna na segmentu [a,b] je uniformno neprekidna na tom segmentu. Teorema: teorema o medjuvrednosti: lema: ako je fja neprekidna na segmentu [a,b] i ako f(a) i f(b) imaju suprotne znake tada postoji bar jedna unutrašnja tačka tog segmenta u kojoj je vrednost fje jednaka 0. F(a) < 0, f(b) < 0. Teorema: ako je fja neprekidna na segmentu [a,b] i ako su x1 i x2 dve različite tačke tog segmenta takav da f(x1) ¹ f(x1) i ako je c takav da je f(x1)<c< f(x2) tada postoji tačka xÎ[a,b] tako da je f(x) = c. F(x) = f(x) – c , f(x1) = f(x1) – c < 0, f(x2) = f(x2) – c >0 , iz poslednja 2 sledi lema ($x) f(x) = 0, f(x) – c = 0, f(x) = c.

4) beskonačno male i beskonačno velike veličine. Def: fja y= f(x) naziva se bvv kad lim x®a f(x) = ±¥. F- ja y= f(x) naziva se bmv kad lim x®a f(x) = 0. Teorema: recipročna vrednost bvv je bmv i obrnuto. Zbir konačnog broja bm veličina je bm veličina. Proizvod bmv i ograničene fje je bmv. Def: a i b su bmv, lim x®a = a(x) / b(x) = {0, a je bmv višeg reda od b, const, a i b su istog reda, 1, a i b su ekvivalentne veličine, ¥ su neg reda. Def: a i b su bvv, lim x®¥ a(x) / b(x) = { 0 , a je bvv nižeg reda, const, istog reda, 1 ekvivalentno, ¥, višeg.

5) izvod f- je sa geometrijskom i fizičkom interpretacijom.  Def: izvod fje y= f(x) u tački a je f ' (a) def lim x®a (f(x) – f(a)) / (x – a). F ' (a) lim Dx® 0 f(a + Dx) – f(a) / Dx = lim h®0 f(a+h) – f(a) / h = lim Dx®0 Dy/Dx,Dx = x –a. Teorema: ako fja ima izvod u tački a tada je f(x) = f(a) + f ' (a) (x – a) + w(x) (x- a). F(x) – f(a) / x – a = f ' (a) + w(x) , w(x) ® 0 , x®a. Izvod fje je granična vrednost ko ličnika  priraštaja fje i priraštaja argumenta. Gemetrijska i fizička interpretacija izvoda. Izvod fje u nekoj tački jednak je tamgemsu nagibnog ugla tangente na krivu u toj tački.

6) jednačina tangente i normale krivih u ravni.  Jed . Tan. T: y – f(a) = f ' (a) (x – a), jed nor: n : y – f(a) = - 1/ f ' (a) (x – a), tg(a) = f ' (a). Jednačina prave kroz tačku m(xo,yo),  y – yo = k (x – xo) , k – koef. Pravca. Jednačina prave kroz dve tačke (xo,yo), (x1,y1) , y – yo = y1 – yo / x1 – xo (x – xo). S= s(m,n), m(a,f(a)), n(a + Dx), f(a + Dx). Jednačina sečice s: y – f(a) = (f(a + Dx) – f(a) / Dx) (x – a). Dx ®0, n ®m , s ®t.  T: y – f(a) = lim Dx ®0  (f(a + Dx) – f(a) / Dx) (x – a) , kn = - 1/k. Teorema: dodirni elementi krive: n = mc = |yÖ1+(y ' )²| - normala, t = ma = |y/y ' Ö1+(y ')²| - tangenta ( odsečak), sn = bc = |yy '| - subnormala, st = ab= |y/y '| - subtangenta.

7) pravila za nalaženje izvoda.  Teorema: ako su fi diferencijalne fje , i = 1,2...n. [åi =1,n  fi(x) ] ' = åi = 1,n fi ' (x) ' aditivnost, [c f(x)] ' = c f ' (x) – homogenost, aditivnost i homogenost daju linearnost. (a f(x) + b g(x)) ' = a f ' (x) + b g ' (x), [ f(x) * g(x)] ' = f ' (x) * g(x) + f(x) * g ' (x), [ f(x) / g(x) ] ' = (f ' (x) g(x) – f(x) g ' (x)) / g(x)² . Izvod inverzne fje. Teorema:  ako f – ja y = f(x) ima izvod u tački x, x¹0 i ako je monotona u nekoj okolini tačke x tada inverzna f  - ja x = f ^–1 (y) ima izvod [f ^–1 (y)] ' = 1/ f ' (x) ili x ' y = 1/ y ' x. Izvod elementernih f – ja. Y = xⁿ, y ' = nx ^{n –1} , y ' = lim Dx®0 (x + Dx) ⁿ – xⁿ / Dx = lim  Dx ®0 Dx [( x + Dx) ^n-1 + (x + Dx) ^n-2 * x + ...x ^n-1]/ Dx= nx ^n-1. Tablica izvoda: xn = nx ^n-1, sinx = cosx, cosx = - sinx, lnx = 1/x, arc sinx = 1/Ö 1- x², složen izvod: [f(x)]^{n '} = n f^n-1 (x) f ' (x). Jednostrani izvodi: f ' _ (x) = lim Dx ®0 ^- f(x+Dx) – f(x) / Dx – sa leve strane, f ' ₊ (x) = lim Dx®0 ⁺ f(x + Dx) – f(x) / Dx – sa desne strane , f ' _ = f ' + Þ f ' = f ' _ = f ' +. Ako fja ima levi i desni izvod u nekoj tački i ako su oni medjusobno jednaki , taka ona ima izvod u toj tački jednak toj vrednosti.

8) pojam diferencijala i diferencijabilnost  fje  y = f (x), y ' = dy / dx, dx = Dx, dy = f ' (x) dx , Dy » dy. Pod izvodom f ' (a) funkcije f : d ® r, d Í r u tački a Î d podrazumevamo konačnu graničnu vrednost količnika priraštaja fje f i priraštaja argumenata x u tački a, kad priraštaj argumenta teži ka nuli tj. F ' (a) lim f (x) – f(a) / x – a = lim f ( a + Dx) – f(a) / Dx kad x ®a  Dx®0. Operacija nalaženja izvoda fje naziva se diferenciranje ( derivacija) a deo analize koji proučava teoriju i primene izvoda se naziva diferencijalni račun. Fja f je diferencijabilna u tački a ako se njen priraštaj u a može predstaviti u obliku f (x) – f(a) = a( x – a) + w(x) (x – a) , gde je aÎr. Da bi fja f bila diferencijabilna u tački a potrebno je i dovoljno da ima izvod u a. Diferencijabilna funkcija u nekoj tački je i neprekidna u toj tački. Neka su f(x)  i g(x) diferencijabilne fje u nekoj oblasti d , tada važi: 1)  (a f(x) + b g(x)) ' = a f ' (x) + b g ' (x), 2)[ f(x) * g(x)] ' = f ' (x) * g(x) + f(x) * g ' (x), 3) [ f(x) / g(x) ] ' = (f ' (x) g(x) – f(x) g ' (x)) / g(x)².

9) OSNOVNE TEOREME DIF. RAČUNA: ROLOVA, LAGRANŽEVA, KOŠIJEVA, LOPITALOVA. TEOREMA ( ROLLE) AKO JE F : [A,B] ® R DIFERENCIJABILNA FJA I AKO JE F(A) = F(B) TADA POSTOJI C Î[A,B] TAKO DA JE F ' (C) = 0. TEOREMA: (LAGRANGE). AKO JE F [A,B] ® R NEPREKIDNA F –JA I DIFERENCIJABILNA TADA POSTOJI TAČKA C , C Î [A,B], TAKVA DA JE F(B) – F(A) / B – A = F ' (C). TEOREMA:( KOŠIJEVA). AKO SU F I G DIFERENCIJABILNE FJE NA INTERVALU [A,B] I AKO BAR JEDNA OD NJIH IMA IZVOD ¹ 0 TADA POSTOJI TAČKA C TAKVA DA JE ® ($C) F(B) – F(A) / G(B) – G(0) = F ' (C) / G ' (C). TEOREMA: LOPITALOVO PRAVILO. NEKA SU F I G DIFERENCIJABILNE FJE AKO JE F(A) = G(A) = 0 I AKO POSTOJI GRANIČNA VREDNOST SA LIM X ®A F(X) / G(X) = LIM F ' (X)/ G ' (X) = L, TADA POSTOJI GRANIČNA VREDNOST LIM X ®A F(X) / G(X) I LIM X®A F(X) / G(X) = LIM F ' (X) / G ' (X) = L. TEOREMA: PRIMENA NA NEODRDJENOSTI TIPA ”1^¥ ”, LIM F^G = E ^{LN LIM FG}= E^LIMGLNF = E ^{LIM G(F – 1)}, LIM X®¥ F (X) ^G(X) = E ^{LIM X®A G(X) [F(X) - 1]}.

10) TEJLOROVA I MAKLORENOVA FORMULA. DEF: AKO JE F(X) Î C ^[U] [A,B] , C^[U] (A,B) – SKUP FJA DEFINISANIH NA [A,B] I NEPREKIDNIH ZAJEDNO SA IZVODOM N- TOG REDA F, F '',F ''', ...F ^(N), POLINOM TN(X) = F(A) +(F ' (A)/ 1!) (X – A) + (F '' (A) /2!) (X – A)² + ...+ (F^(N) (A) / N!) (X – A)^N SE ZOVE TEJLOROV POLINOM FJE  U TAČKI A, ZA A = 0 MAKLORENOV POLINOM , TEOREMA: F(A) = TN(A) , F ' (A) = TN ' (A),...,F ^(N) (A)= TN ^(N) (A), TN^(N+1) (A) = TN^(N+2) (A) = ...=0. TEOREMA: TEJLOROVA FORMULA. F(X) = TN(X) + RN(X) – OSTATAK, RN(X)= (X – A)^N * w(X), w(X) ®0 , X®A , RN(X) = (F^(N+1) (x) / (N+1)!) (X – A) ^N+1, - LAGRANŽEV OBLIK KONSTANTE, A £ x £ X, RN(X) = O((X – A)^N – PEANOV OBLIK, a= O(b), a JE BESKONAČNO MALA VELIČINA VIŠEG REDA NEGO b, X³ = O(X), X³= O(SINX). TEJLOROVA FORMULA: F(X) = F(A) + (F ' (A) / 1!) (X – A) + (F '' (A) / 2!) (X – A)² +...+ (F^(N) (A) / N!) (X – A)^N + RN (X). MAKLORENOVA FORMULA: F(X) = F(0) + (F ' (0) / 1!) * X+ (F '' (0) / 2!) * X² + ...+ (F ^(N) (0) / N!) * X^N + RN (X).

11) MONOTONOST, EKSTREMI, KONVEKSNOST I PREVOJNE TAČKE F – JA JEDNE PROMENLJIVE.  OPŠTI POSTUPAK Z AISPITIVANJE F- JA. 1) DOMEN SADRŽI INTERVALE NEPREKIDNOSTI I TAČKE PREKIDA, 2) NULE, ZNAK FJE, 3) NEPARNOST, PARNOST, PERIODIČNOST, 4) ASIMPTOTE – PONAŠANJE NA RUBOVIMA ILI GRANICAMA, 5) ESTREMI, INTERVALI MONOTONOSTI, 6) KONVEKSNOST, KONKAVNOST, PREVOJNA TAČKA ( TAČKA INFLEKSIJE), 7) GRAFIK, TABLICA. 1) DOMEN Y = Ö F(X), F(X) ³ 0, Y = 1/ F(X), F(X) ¹0, Y = LN F(X), F(X) > 0, 2) Y = 0, F(X) = 0, Y > 0, Y < 0, Y(X) > 0., 3) F( - X) = F(X) – PARNA F – JA, F( - X) = - F(X) – NEPARNA, 4) ASIMPTOTA DATE F – JE Y = F(X) JE NEKA DRUGA F – JA Y= j (X), AKO VAŽI LIM X®¥ [ F(X) - j(X)] = 0, LIM X®¥ F(X) / j (X) JE ASIMPTOTA ZA F(X). DEF: HORIZONTALNA ASIMPTOTA Y = F(X) AKO VAŽI LIM X®±¥ F(X) = C, Y = C. DEF: VERTIKALNA ASIMP. X = A, LIM X® A ^± F(X) = ± ¥. DEF:  Y = F(X) KOSA A. Y = KX + N. LIM X®±¥ [ F(X) – KX - N] = 0, K = LIM X®¥ F(X) / X, N = LIM X®¥ [F(X) - KX], 5) MONOTONOST . TEOREMA: Y ' > 0 Þ Y ­ , Y ' < 0 Þ Y ¯, DEF: F ' (A) = 0, A – STACIONARNA TAČKA, F(A) JE TAČKA MAX AKO (" X Î (A – Q, A + Q)) F(X) £ F(A). LOKALNA OSOBINA ZA MAX I MIN. F(X) ­ X Î (A – Q, A) , F(X) ¯ X Î (A, A + Q) } Þ F(A) JE MAX ;  F(X) ¯ X Î (A – Q , A) , F(X) ­ X Î (A, A + Q) }Þ F(A) JE MIN. TEREMA: F ' (A) = 0, F '' (A) > 0 Þ F(A) JE MIN, F ' (A) = 0, F '' < 0 Þ F(A) JE MAX.  6) KONVEKSNOST I KONKAVNOST. DEF: F – JA JE KONVEKSNA NA NEKOM INTERVALU AKO SE NJEN GRAFIK NALAZI IZNAD TANGENTE U BILO KOJOJ TAČKI TOG INTERVALA. DEF: F – JA JE KONKAVNA AKO SE NJEN GRAFIK NALAZI ISPOD TANGENTE. TEOREMA: Y JE KONVEKSNA  «  Y '' (X) ³ 0 X Î (A,B), Y JE KONKAVNA « Y '' (X) £ 0. DEF: A JE PREVOJNA TAČKA F – JE F(X) AKO SE U TOJ TAČKI F – JA MENJA IZ KONVEKSNE U KONKAVNU I OBRNUTO. PREVOJNA TAČKA SE TRAŽI TAKO ŠTO SE NADJE DRUGI IZVOD U 0. F '' (X) = 0, X = A, F '' (A) = 0. TEOREMA: F(X) = AX ^M + ... / BX ^N +... {  M < N  X.A Y = 0, M = N X.A Y = A / B, M = N + 1 K.A., M > N + 1 KRIVA ASIMPTOTA.

12) PARCIJALNI IZVODI.  PARCIJALNI IZVOD PO X F – JE F U OZNACI F ' X, F – JA JE ARGUMENATA X I Y , KOJA SE DOBIJA DIFERENCIRANJEM F- JE F PO X, SMATRAJUĆI Y KONSTANTOM TJ. F ' X (X,Y) = LIM F ( X + DX,Y) – F(X,Y) / DX , DX ® 0. ZA PARCIJALNI IZVOD PO X F- JE F KORISTE SE I SLEDEĆE OZNAKE: dZ / dX, dF(X,Y) / dX, (d / dX) F(X,Y), ANALOGNO SE DEFINIŠE PARCIJALNI IZVOD PO Y F- JE F TJ.  F ' Y (X,Y) = LIM F(X,Y + DY) – F(X,Y) / DY, DY ® 0. PARCIJALNI IZVODI DRUGOG REDA. SVAKI PARC. IZVOD PRVOG REDA IMA DVDA PARCIJALNA IZVODA, TAKO DOBIJAMO ĆETIRI PARCIJALNA IZVODA DRUGOG REDA: d / dX ( dZ / dX) = d²Z / dX² = F '' XX = Z '' XX; d / dY ( dZ / dX) = d²Z / dXdY = F '' XY = Z '' XY ; d / dX ( dZ / dY) = d²Z / dYdX = F '' YX = Z ''YX ; d / dY ( dZ / dY) = d²Z / dY² = F '' YY = Z '' YY. IZVODE F '' YX I F '' XY NAZIVAMO MEŠOVITI IZVODI. TEOREMA: AKO SU MEŠOVITI IZVODI DRUGOG REDA F- JE F DVA ARGUMENTA X I Y NEPREKIDNI, ONDA SU MEDJUSOBNO JEDNAKI TJ. VAŽI F '' XY (X,Y) = F '' YX (X,Y).

13) TOTALNI DIFERENCIJAL. NEKA JE F : (X,Y) ® Z DIFERENCIJABLINA F – JA PO X I Y. RAZLIKA DZ = DF(X,Y) = F(X + DX,Y + DY) – F( X,Y) NAZIVA SE TOTALNI PRIRAŠTAJ F – JE F. TA F- JU F KAŽEMO DA JE DIFERENCIJABILNA U TAČKI M(X,Y) AKO SE NJEN TOTALNI PRIRAŠTAJ D F(M) MOŽE PREDSTAVITI U OBLIKU DF(M) = ADX + BDY + w(M) ÖDX² + DY², GDE SU A I B KONSTANTE, A w NEPREKIDNA F – JA U TAČKI M I JEDNAKA NULI U TOJ TAČKI. LINEARNA KOMBINACIJA PRIRAŠTAJA ARGUMENATA, TJ. IZRAZ ADX + BDY, NAZIVA SE TOTALNI DIFERENCIJAL F- JE F U TAČKI M(X,Y). TOTALNI DOFERENCIJAL F – JE F : (X,Y) ® Z OZNAČAVAMO SA DZ = DF (X,Y). TEOREMA: TOTALNI DIFERENCIJAL F- JE DVA ARGUMENTA JEDNAK JE ZBIRU PROIZVODA PARCIJALNIH IZVODA I DIFERENCIJALA ODGOVARAJUĆIH ARGUMENATA. TEOREMA: DA BI IZRAZ P(X,Y) DX + Q(X,Y) DY BIO TOTALNI DIFERENCIJAL POTREBNO JE I DOVOLJNO DA VAŽI dP / dY = dQ / dX.

14) IZVOD SLOŽENE F- JE , LOGARITAMSKI IZVOD I F- JE DATE U IMPLICITNOM OBLIKU.  F(X) = F ( F (X)). TEOREMA: AKO F- JA F(X) IMA IZVOD U TAČKI X A AKO F(U) IMA IZVOD U TAČKI U = F(X) , TADA I SLOŽENA F- JA F(X) IMA IZVOD F ' (X) = F ' ( F(X) * F ' (X)). DOKAZ: F ' (X) = LIM DX ® 0  F (X + DX) - F(X) / DX =  LIM DX ® 0  F(F(X + DX) – F(F(X)) / DX = LIM DX ® 0  F(F(X+ DX)) – F(F(X)) / F(X + DX) – F(X) * F(X + DX) – F(X) / DX. LOGARITAMSKI IZVOD: KORISTI SE KADA NE ZNAMO DA LI JE STEPENA ILI EKSPONENCIJALNA F- JA. Y = F (X) ^G(X) ¤  *LN, LN Y = LN F(X) ^G(X), LN Y = G(X) LN F(X) ¤  ' ,  Y ' / Y  = G ' (X) LN F(X) + G(X) * ( F ' (X) / F(X)), Y '  = Y [G ' (X) LNF(X) + G(X) * ( F ' (X) / F(X))],  Y ' = F(X) ^G(X) [ G ' (X) LNF(X) + G(X) * ( F ' (X) / F(X)) ]. JEDNAČINOM F(X,Y) = 0 MOŽE BITI DEFINISANA F- JA G : X®Y. JEDNAČINOM F(X,Y,Z) = 0 MOŽE BITI DEFINISANA F – JA G : (X,Y) ® Z. AKO OVE JEDNAČINE DEFINIŠU NEKE F- JE , ONDA KAŽEMO DA SU TE F- JE DATE U IMPLICITNOM OBLIKU. PR: X² + XY +Y² = 6, 2X + Y + XY ' + 2YY ' = 0, XY ' + 2YY ' = - 2X – Y , Y ' ( X + 2Y) = - 2X – Y, Y ' = - 2X – Y / X + 2Y.

15) TANGENTNA RAVAN POVRŠI I NORMALA NA POVRŠ. NEKA JE F- JA F : (X,Y) ® Z DIFERENCIJABILNA U TAČKI ( XO,YO). DVE PRAVE KOJE SE SEKU U TAČKI M, ODREDJUJU RAVAN T, KOJA SE NAZIVA TANGENTNA RAVAN POVRŠI S U TAČKI M. TAČKA M JE DODIRNA TAČKA T I POVRŠI S U TAČKI M. JEDNAČINA TANGENTNE RAVNI F- JE F U TAČKI M GLASI Z – ZO = F ' X ( XO, YO) ( X – XO) + F ' Y (XO,YO) ( Y – YO). AKO JE JEDNAČINA POVRŠI S DATA U OBLIKU F(X,Y,Z) = 0 ONDA JEDNAČINA TANGENTNE RAVNI IMA OBLIK F ' X(M) (X – XO) + F ' Y (M) (Y – YO) + F ' Z (M) (Z – ZO) = 0. PRAVA NORMALNA NA TANGENTNOJ RAVNI T U DODIRNOJ TAČKI M NAZIVA SE NORMALA POVRŠI S U TAČKI M. NJENA JEDNAČINA IMA OBLIK X – XO / F ' X ( XO, YO) = Y – YO / F ' Y ( XO, YO) = Z – ZO / -1 , ODNOSNO X – XO / F ' X (M) = Y – YO / F ' Y(M) = Z – ZO / F ' Z (M).

16) EKSTREMNE VREDNOSTI F- JA DVE PROMENLJIVE. TEOREMA: POTREBNI USLOVI ZA EGZISTENCIJU EKSTREMA. DA BI FUNKCIJA DVE PROMENLJIVE U NEKOJ TAČKI IMALA EKSTREMNU VREDNOST POTREBNO JE DA NJENI PARCIJALNI IZVODI BUDU JEDNAKI NULI. TEOREMA; NAKA JE A= d²Z / dX² (XO,YO), B= d²Z / dXdY (XO,YO), C= d²Z / dY² ( XO,YO). dZ / dX ( XO,YO) = 0, dZ / dY ( XO,YO) = 0, D = AC – B², D > 0 , A < 0 Þ Z(XO,YO) JE MAX, D > 0, A > 0 Þ Z(XO,YO) JE MIN, D= 0 , POTREBNA SU DODATNA ISPITIVANJA.

17) PRIMITIVNA F- JA I NEODREDJENI INTEGRAL. DEF: PRIMITIVNA F – JA F- JE F(X) JE F(X) TAKVA DA JE F ' (X) = F(X). TEOREMA: AKO JE F(X) PRIMITIVNA F- JA ONDA JE TAKODJE F(X) + C PRIMITIVNA F- JA. TEOREMA: AKO SU F(X) I G(X) PRIMITIVNE F- JE ZA ISTU F- JU TADA JE F(X) – G(X) = C. DEF: SKUP SVIH PRIMITIVNIH F- JA F- JE F(X) ZOVE SE NEODREDJENI INTEGRAL I OZNAČAVA SE SA ò F(X)DX = F(X) + C. TEOREMA: SVAKA NEPREKIDNA F- JA IMA NEODREDJENI INTEGRAL.

18) OSNOVNE OSOBINE NEODREDJENOG INTEGRALA.      ( ò F(X) DX ) ' = F(X), ò F ' (X) DX = F(X) + C, ò [ F(X) + G(X) ]DX = ò F(X) DX + òG(X) DX – ADITIVNOST, ò K F(X) DX = K ò F(X) DX – HOMOGENOST, ò å KI FI (X) DX = å KI ò FI (X) DX. ADITIVNOST I HOMOGENOST DAJU LINEARNOST.

19) INTEGRACIJA SMENOM PROMENLJIVIH I PARCIJALNA INTEGRACIJA.     SMENA: ò F(G(X)) G ' (X) DX = ò F (U) DU – FORMULA, SMENA: U = G(X), DU = G ' (X) DX. PRIMER: ò SIN 2X DX= òSIN T ½ DT= ½ ò SINT DT = - ½ COS T= - COS 2X/2 + C, SMENA :2X = T, 2DX = DT, DX = ½ DT. PARCIJALNA: DOKAZ: ( UV) ' = U ' V + U V ' ¤  ò - INTEGRIRAMO, ò ( UV) ' DX = ò U ' V DX + ò UV ' DX, UV = òV DU + ò U DV, òUDV = UV - ò VDU. PRIMER: ò XE^XDX = XE^X - ò E^XDX = XE^X – E^X + C = ( X – 1) E^X + C, U = X, DU = DX, DV = E^XDX, V= E^X.

20) INTEGRACIJA RACIONALNIH F- JA.  1) ò ( A_OX^N + A₁ X ^N-1+ ...+ A_N) DX= A_O (X ^N+1 / N+1) + A₁ (X^N / N) +...+ A_NX +C. 2) ò A/ ( X – A)^N DX = A ò 1 / ( X – A) ^N DX = A ò 1 / U^N DU = A ò U ^–U DU = A (U ^–U+1 / -U +1) + C= A (( X – A) ^-U+1 / 1 – U) + C = (- A / U –1) * (1 / ( X – A) ^{U – 1}) + C. SMENA U = X – A, DU = DX. 3) ò DX / AX² + BX + C = ò DX / A(X – X1) ( X – X2), 3A) X1,X2 ÎR AKO SU BROJEVI REALNI, I = ò A / X – X1 DX + ò B / X – X2 DX.

21) INTEGRACIJA IRACIONALNIH I TRIG. FJA.  NEKA JE R RACIONALNA FJA SVOJIH ARGUMENATA . INTEGRAL. ò R ( X, ^N1 Ö AX + B,... ^NKÖ AX+ B) DX, SMENOM AX + B = Z^N, GDE JE N NAJMANJI ZAJEDNIČKI SADRŽALAC BROJEVA N1 , N2,..., NK SVODI SE NA N / A ò Z ^{N – 1} R ( 1 / A ( Z^N – B ) , Z ^M1,...,Z^MK) DZ, MI = N / NI, 1£ I £ K . SLIČNO, ò R ( X, ^N1Ö AX + B / CX + D,... ^NKÖ AX + B / CX + D) DX SMENOM AX + B / CX + D = Z^N, GDE N IMA ISTO ZNAČENJE KAO U PRETHODNOM INTEGRALU, SVODI SE NA INTEGRACIJU RACIONALNE FJE. INTEG. TRIG: AKO JE PODINTEGRALNA FJA RACIONALNA PO SINX I COSX, ONDA SE SMENOM TAN X/2 = T PODINTEGRALNA FJA SVODI NA RACIONALNU FJU., A A KO JE NEPARNA PO COSX, ONDA SE SMENOM SINX = T PODINTEGRALNI IZRAZ TRANSFORMIŠE U RACIONALNI IZRAZ PO T. A AKO JE NEPARNA PO SINX, ONDA SMENA COSX = T SVODI INTEGRACIJU DATE FJE NA INTEGRACIJU RACIONALNE FJE PO T. A AKO JE PARNA I PO SINX I PO COSX, ONDA SMENA TANX = T SVODI PODINTEGRALNU FJU NA RAC. FJU PO T. AKO JE PODINTEGRALNA FJA RAC PO TANX , KORISTIMO SMENU X = T. INTEGRALI OBLIKA ò SINPXSINQXDX, ò SINPXCOSQXDX,ò COSPXCOSQXDX, P¹Q, IZRAČUNAVAJU SE NA TAJ NAČIN ŠTO SE PROIZVOD TRIG FJA POD ZNAKOM INTEGRALA PRETHODNO TRANSFORMIŠE U ZBIR, NA OSNOVU POZNATIH OBRAZACA IZ TRIGONOMETRIJE.

22) DEF. I OSOBINE ODREDJENOG INTEGRALA.  ZA FJU F OGRANIČENU SA SEGMENTU [A,B], KAŽEMO DA JE INTEGRABILNA NA TOM SEGMENTU AKO POSTOJI GRANIČNA VREDNOST INTEGRALNE SUME å I = 1,N F(TI)(XI – X _{I – 1} ), KAD MAX (XI – X _{I – 1} ) ® 0. OVA GRANIČNA VREDNOST NAZIVA SE ODREDJENI INTEGRAL FJE F NA [ A,B]  I OZNAČAVA ò _A^B F(X) DX. SEGMENT [ A,B] JE OBLAST INTEGRACIJE, BROJ A DONJA, A BROJ B GORNJA GRANICA ODREDJENOG INTEGRALA, FJA F JE PODINTEGRALNA FJA. TEOREMA: AKO JE FJA F INTEGRABILNA NA SEGMENTU I, ONDA JE I  FJA |F| INTEGRABILNA NA ISTOM SEGMENTU. TEOREMA: FJA F, NEPREKIDNA NA SEGMENTU I, INTEGRABILNA JE NA TOM SEGMENTU. TEOREMA: AKO JE FJA F OGRANIČENA NA SEGMENTU I I NA NJEMU IMA KONAČAN BROJ TAČAKA PREKIDA, ONDA JE ONA INTEGRABILNA NA TOM SEGMENTU. OSOBINE INT: ò _A^B F(X) DX = 0, ò _A^B F(X) DX = - ò _A^B F(X) DX, ò _A^B F(X) DX = ò_A^C F(X) DX + ò_C^A F(X) DX.

Komentari (0)

RSS link na komentare

Ime

Email

Naslov

Komentar

smanji | povećaj

Dodaj komentar