|
1. EKVIVALENTNOST Binarna relacija na skupu S jeste svaki podskup S2. Neka je j binarna relacija na skupu S, tada kažemo da je x u relaciji sa y u oznaci xjy ako (x,y)ÎS. Neka je j binarna relacija na skupu S inverzna relacija relacije j jeste binarna relacija j-1 definisana sa aj-1b Û bja, komplement relacije j jeste binarna relacija j definisana sa j=S2/j za relaciju j na skupu S kažemo da je: - refleksivna akko "aÎS i aja - antirefleksivna akko "aÎS i ù(aja) - simetrična akko ajb Þ bja - antisimetrična akko ajb Ù bja Þ a=b - tranzitivna akko ajb Ù bjc Þ a=c Relacija j je relacija poredka na S ako je refleksivna, antisimetrična i tranzitivna. 2. UREĐENI SKUPOVI Za svako S na kome je definisano uređenje ≤ kažemo da je uređen skup i označavamo ga sa (S,≤). Za uređenje ≤ u skupu S kažemo da je potpuno, ako za svako x,yÎS važi samo jedan od sledećih uslova x<y, x=y, x>y. U suprotnom uređenje je delimično. Neka je (S,≤) uređen skup i AÍS. Ako postoji element uoÎA takav da je ya svako aÎA, no=a kažemo da je uo najmanji element skupa A. Za podskup A uređenog skupa (S,≤) kažemo da je majoriran (ograničen odozgo) u S ako postoji mÎS takvo da je ("aÎA), a≤m. podskup A je minariran u S ako postoji mÎS takvo da je ("aÎA), m ≤ a. Neka su S i S' dva uređena skupa, a f:x®x' preslikavanje S u S'. Za ovo preslikavanje kažemo da je monotono ako x≤y Û f(x) ≤f(y). Neka je f izomorfizam iz S u S'. Ako je AÍS i A'=f(a) onda je element m'=f(m) minimalan (maksimalan), minoranta (majoranta), najmanji (najveći), infimum (supermum). 3. MREŽE Za uređeni skup (S,≤) kažemo da je mreža ako svaki njegov ekvivalentni podskup ima infinum i supermum. Ako je S mreža onda za "x,y,zÎS važi: 1. xÙa=a xÚx=x idempotentost 2. xÙy=yÙx xÚy=yÚx komutativnost 3. xÙ(yÙz)=(xÙy)Ùz xÚ(yÚz)=(xÚy)Úz asocijativnost 4. xÙ(xÚy)=x=(xÙy)Úx apsortivnost Mreža je distinktivna ako važi bar jedan od sl. uslova: ("x,y,zÎS) xÙ(yÚz)= (xÙy)Ú (xÙz) xÚ (yÙz)= (xÚy) Ù (xÚz) neka je S uređeni skup. Najmanji element skupa obično se naziva nula (0), onaj veći jedinica (1). Mreža S sa nulom i jedinicom naziva se mreža komplementima ako za ("aÎS) postoji $bÎS takvo da važi aÚb=1, aÙb=0. U distinktivnoj mreži komplement je jednoznačno određen i označavamo ga sa ùa. Distinktivna mreža sa komplementima naziva se Bulova algebra. 4. GRUPOIDI Binarna operacija u skupu G jeste preslikavanje f skupa GxG u skup G. Uređen par (G,f) nazivamo grupoid a kordinatni broj (G) skupa G – red grupoida. Slika f(x,y) najčešće se piše u obliku proizvoda tj. (x,y)®x+y i kažemo da je (G,0) multiplikativna a (G,+) aditivan grupoid. Za elemente x,y grupoida G kažemo da su komutativni ako važi xy=yx. Grupoid u kome su svaka dva elementa komutativna naziva se komutativni grupoid. U grupoidu postoji najviše jedna jedinica. Polugrupa sa jedinicom: monoid. Za element a grupoida G kažemo da je skrativ ako ax=ay Ù xa=ya Þ x=y. Grupoid sa skrativim elementima – grupoid je sa skraćivanjem. Grupoid G je kvazigrupa ako za date a,bÎG pošto je jedinično određeni element x,yÎG takvi da je ax=b Ù ya=b. tj. ("a,bÎG) ($! x,yÎG) ax=b Ù ya=b Svaka kvazigrupa je grupoid sa skraćivanjem. Grupoid G grupa akko je podgrupa i kvazigrupa. Grupoid j(G) je: komutativan grupoid sa jedinicom polugrupa Akko ima određenu osobinu i na G. 5. HOMOMORFIZMI I KONGRUENCIJA GRUPOIDA (G,o) i (G,*) su dva grupoida i f preslikavanje skupa g u skup G. Za preslikavanje f kažemo da je homomorfizam grupoida G u grupoid G' ako važi: ("x,yÎG) f(x)*f(y) Za homomorfizam kažemo da je monomorfizam ako je f injekcija a epimorfizam ako je f surjekcija. Homomorfizam koji je monomorfizam i epimorfizam naziva se izomorfizam. Za grupoid G' kažemo da je homomorfna slika grupoida G ako postoji epimorfizam iz G u G''. Ako je grupoid G grupoid sa skraćivanjem i kvazigrupa onda i odgovarajuću osobinu ima i svaki izomorfni grupoid G'. Neka je G grupoid i a ekvivalent na G. Ze realizaciju kažemo da je kongruencija u grupoid G ako je a saglasna sa operacijom grupoida G tj. ako aax i bay onda abaxy. Ako je f homomorfizam iz grupoida G u grupoid G' onda je jezgro a=kon a u G a kanoničko preslikavanje k: aa®f(a). Ako je epimorfizam iz grupoida G u grupoid G' onda su grupoidi G/ kon a u G' izomorfizam.
6. PODGRUPE Nepoznati podskup H grupoida G naziva se podgrupa grupoida G ako i samo ako a,bÎHÞabÎH. Ko je grupoid G podgrupa onda je svaki njegov podgrupoid i podpolugrupa. Ako je G grupa sa jedinicom e i f=HÍG sledeći izrazi su ekvivalentni: a) H je podgrupa grupe G b) eÎH, a,bÎHÞa-1; abÎH c) a,bÎHÞab-1ÎH Dokaz: H je grupa a,bÎHÞabÎH. Neka je q jedinica grupe H. eq=q=q×qÞe=q, eÎH. a-1 je inverzni element za a u grupi H. Ako je a-1 inverzni el. a u G: a×a1=e=aa-1 važi pod b) eÎH. Ko a,bÎH onda a,b-1ÎH i ab-1ÎH jer važi pod a). Ako je G grupoid i HÍG onda je H polugrupoid u G ako i samo ako je HHÍG. Uslov a,bÎHÞabÎH ekvivale- ntan je uslovu HHÍG. Neka je H neprazan podskup grupe G tada su sl. Iskazi ekvivalentni: 1. H je podgrupa u G 2. H-1ÍH i HHÍH 3. HH-1ÍH 7. NORMALNE PODGRUPE Podgrupe kod kojih je ("xÎG) xH=Hx nazivaju se normalne podgrupe. Jednačina podgrupe E={e} I samo grupa G normalne su podgrupe grupe G. Ako je G komutativna grupa onda je I svaka njena podgrupa normalna. H je normalna podgrupa grupe G ako je: ("xÎG) x-1Hx=H Dokaz: Neka je H norm. podgrupa i tada prema: "xÎG, xH=Hx imamo H=eH=(x-1×x)H= x-1(xH)= x-1Hx Ako je H normalna podgrupa grupe G sa jedinicom e onda je relacija a konvergencija u G. Ako je G grupa sa jedinicom e onda je ekvivalentnost a na G konvergencija u G, ako i samo ako je ae norm. podgrupa grupe G. Neka je a konvergencija u G. Iz xay sledi: e= x-1×x a x-1y i e= x ×x-1 a y x-1 odnosno x-1y , y x-1 Î ae 8. CIKLIČNE GRUPE Neka je S podgrupa nÎN tada elemente a1,a2… za a1=a2=an=a nazivamo n-ti stepen elementa I označavamo ga sa an. Ako je S adaptivna podgrupa umesto an piše na. Ako je a podskup grupe G podgrupu možemo pisati kao skup svih elemenata iz G koji mogu biti predstavljeni u obliku proizvoda stepena sa celim izložiocem konačnog broja elemenata iz G. Tako je: <a>={anInÎZ} Za podgrupu <a> kažemo da je ciklična grupa generisana elementima a. Svaka ciklična grupa je komutativna, G je ciklična grupa: x,yÎG; m,nÎZ; x=am; y=an Þxy= am an=am+n= an+m=yx Ako grupa G ima prost red onda je ona ciklična. Ako je grupa G ciklična grupa i H njena podgrupa onda su grupe H i G/H ciklične: G=<a> H={e}=E Jedinična podgrupa grupe G je ciklična grupa reda 1 sa generatorom e.
9. PRSTEN Za algebru (R,+, ×) sa dve binarne opera-cije + i × kažemo da je prsten ako važi: (R,+) je komutativna grupa (R, ×) je polugrupa ("a,b,cÎR) , a(b+c)=ab+ac (a+b)c=ac+bc Za (R,+) kažemo da je adaptivna grupa, a za (R, ×) da je multiplikativna grupa prstena. Umesto (R,+, ×) obično se piše samo R. Ako je (R, ×) komutativna polugrupa kažemo da je R komutativan prsten. Neutralni elemenat adaptivne grupe prstena R označavamo sa o i nazivamo o prsten. Ako je R prsten za svako a,b,cÎR važe sledeće jednakosti: A0=0a=0 -a(b)=a(-b)=-ab (-a)(-b)=ab a(b-c)=ab-ac (a-b)c=ac-bc U prstenu R važi: ("a,bÎR, nÎZ) n(ab)=(na)b=a(nb) 10. KONGRUENCIJA I IDEALI PRSTENA (R,+, ×) i (R',+, ×) su prsteni. Preslika-vanje f:R®R' naziva se homomorfizam prstena, a ako je to preslikavanje homomorfne grupe (R, ×) u polugrupu (R', ×) tj. ako važi: ("x,yÎR) f(x+y)=f(x)+f(y), f(xy)=f(x)f(y) Za homomorfizam f iz prstena R u prsten R' kažemo da je nulti ako je f(r)=O', gde je o' nula prstena R'. Ako je f:R®R' nulti epimorfizam iz prstena (R,+, ×) u algebru (R',+, ×) istog tipa, onda je R' prsten. Ako je pored toga prsten R: - Komutativan - Prsten sa jedinicom - Telo - Polje Tada odgovarajuću osobinu ima i R'. Za ekvivalentnost a u skupu R kažemo da je kongurencija u adaptivnoj grupi i u multiplikativnoj polugrupi prstena R'. Ako je a kongurencija u prstenu R onda je nad a:R®R/a epimorfizam i R/O je prsten, R je prsten a I je neprazan skup tog prstena. Za I kažemo da je ideal prstena R ako je: I – podgrupa adaptivne grupe prstena R. ("xÎR, aÎI) ax, xaÎI. Ekvivalentnost a na prstenu R je kongurencija u R ako i samo ako je a0 ideal prstena R.
11.POLJA Svaki konačni prsten ima konačnu karakteristiku. Neka je R prsten sa jedinicama e. R ima konačnu karakteristiku ako i samo ako postoji prirodan broj i takav da je n×e=0. Najmanji prirodan broj sa ovom osobinom je k-ka prstena R. Neka je R prsten sa jedinicama e i bez nepravilnih detalja nule. Ako R ima konačnu k-ku p, onda je p prost broj, a ako R nema konačnu k-ku, onda je jedna k-ka nula. Ako R konačan prsten sa jedinicom i bez netrivijalnih delitelja nule, onda postoji broj p i prirodan broj k, tako da važi: ½R½=pk. K-ka polja je prost broj ili nula. Ako je F konačno polje onda je ½F½=pk, gde je p k-ka polja. Konačna polja zovu se Galbova polja. Svako polje F je vektorski prostor nad svojim proizvoljnim podpoljem p. 12. POLINOMI Ako a,bÎR[x] onda a+b, a-b, abÎR[x] tj. R[x] je podprsten prstena Rx. Pri tome važi: deg (a+b), deg(a-b) ≤ max (deg a, deg b) deg (a,b) ≤ deg a + deg b Ako je R prsten bez netrivijalnih detalja nule, onda je deg (a,b) ≤deg a + deg b Prsten R[x] zove se prsten polinoma nad R po argumentu x. Elementi prstena R[x] zovu se polinomi. Nula element prstena R[x] zovu se koeficijenti polinoma (a0,a1,a2…an). Koeficijenti nula polinoma su svi jednaki nuli. Ako je a,bÎF[x] pri čemu je b¹0 onda postoje jednoznačno određeni q,rÎF[x] takvi da važe a=qb+r I deg r< deg b Polinomi stepena nula su nesvodljivi. Polinom d je zajednički delitelj za a i b. 13. VEKTORSKI PROSTORI Neka je (V,+) komutativna grupa i k polje brojeva. Ako je definisano preslikavanje (a,a)® aa iz kxV u V sa osobinama a(x+y)= ax+ay, (a+b)x=ax+bx, a(bx)= (ab)x, 1x=x za svako a,bÎk i x,yÎV onda V nazivamo vektorski prostor nad poljem k. Elemente skupa V nazivamo vektori, a elemente polja k skalari. Operacija f: V2®V zove se sabiranje vektora, a operacija koja preslikava kxV u V zove se množenje vektora skalarom. Neutralni element grupe (V,+) zove se nula vektor prostora V. Neka je V vektorski prostor nad poljem k. Ako je izraz a1x1 + a2x2 +...+ anxn=0 kažemo da su vektori linearno nezavisni, a ako postoje skalari takvi da je: ½a1½+½a2½+...+ ½a4½>0 i važi: a1x1 + a2x2 +...+ anxn=0 kažemo da su vektori linearno zavisni. Neprazan podskup U vektorskog prostora V je podprostor V ako iz x,yÎU i a,bÎk sledi ax+byÎU. Presek podprostora U1 i U2 je skup U1ÇU2, a zbir U1+U2 definisan je sa U1+U2={ U1+U2 ï U1ÎU1, U2ÎU2 }. 14. BAZA VEKTORSKOG PROSTORA Neka je V vektorski prostor. Iz svakog skupa u=G(V) može se izdvojiti baza. Svaki element vektorskog prostora V može se na samo jedan način izraziti kao linearna kombinacija vektora i baze B. Svaka baza B vektorskog prostora V jeste maksimalan linearni nezavistan podskup V. Ako vektorski prostor V ima bar jednu bazu sa konačnim brojem elemenata on se naziva konačno dimenzionalan prostor. U suprotnom prostor V je beskonačno dimenzionalan. Broj vektora proizvoljne baze konačno dvodimenzionalnog vektorskog prostora naziva se dimenzija. dim(V1+V2)=dimV1+dimV2 ® dim(V1ÇV2) Svaka baza vektorskog prostora V naziva se i kordinatni sistem tog prostora.
 |
RSS link na komentare
fakat 
))
